2008年08月26日

初等的証明の意義

 あらき先生の研究日誌 相加相乗平均に新証明法 高校教諭、運転中にひらめく という記事が載っていた(予備用サイト).これは高校1年で誰もが習う 2項の相加相乗平均の定理を一般化したもの である.それの広く知られている証明法は初等的ではない.


 内田先生の証明はインターネット上で公開されており,早速読んでみる.英文で書かれているが,高校1年生が英語の勉強をするのに丁度よいレベルである.印刷して,辞書を片手に読んでみよう.theorem は 定理,lemma は証明の際に使う 補助定理 である.

 全体の証明に必要な知識は数学的帰納法(see §11.4 p.336〜338)と 暗算で証明をたどれる程に初等的な Lemma 3 の2つだけである.Lemma 3 の は,不等式を満たすものなら何でもよいことに注意します.(4)以下で実質的な証明に入るが,Lemma 3を繰り返し使うだけの“これほど単純で・鮮やかな証明があろうか”というほど見事です.
 初心者のために,(4)以下の式変形の始めの部分( we obtain the following inequalities 以下)について,補足しておきます:


これが式変形5行目の式に繋がります.これで,証明の筋が追えるはずです.

 ここまで易しくて単純な証明になると,感動すら覚えます.定理における等号成立の条件が Lemma 3 の場合の等号成立条件を受け継いでいることから, Lemma 3 を繰り返し用いて証明が完結するのも不思議ではありません.

 この証明の意義ですが,美しく高級な定理が高校生でも証明できてしまう,しかも見事な方法で,ということでしょう.証明できる → 定理がわかる → 感動する → 他の定理も証明する → 数学がわかる → 数学が好きになる,という図式が(うまくいけば)描けます.

 数学教育に携わる人は,数学を学ぶ人が,数学を理解してほしい・数学が好きになってほしいと願っています.私もそう願う一人ですが,私の場合は,数学の難しい部分を何とか易しく解説できないかともがくことが多いようです.『高校数学+α』を書くときもかなり苦労したものです(特に 第1章).
 『なっとくの線形代数』でもっとも苦労した部分は‘なぜ線形代数を学ぶのか’を理解してもらいたいという部分だが,ここはどう書いてもレベルが高すぎるものになってしまうようだ.ただし,線形代数初学者のための工夫ももちろんしています高次の行列式を定義するのに必要だが,悪名高い「置換」の理論を あみだくじ を用いて解説したりしています.あらら,脱線気味かな.本題は初等的証明だった.^^;
 そうそう,内田先生の証明を見てすぐ思い出したのは有限次の行列 の逆行列 に関する定理です:行列 は単位行列)を満たすならば が成り立ち(また,その逆も成り立ち), である.この定理の証明も初等的でなく,かつ行列の成分を用いた汚い式変形です.何とかならんものかと考えているうちに,『線型代数−Linear Algebra』からヒントを得ました.詳細は 6.3.3.3 高次行列の逆行列 を見てもらいますが,左逆行列 から得られる 余因子 を,小行列式を用いずに,単位列ベクトルを含む形の行列式で書く(p.280)ところがミソです.このとき,行列式の性質を用いると,そのわずか2回の操作で,余因子を単位ベクトルを含む形の行列式に直すことができ,それを用いて右逆行列が得られます.この方法は当に線形代数を初めて習う人にうってつけの方法です.アイデアが浮かぶまでは苦労しましたよ.広中平祐先生,読んでくれないかな(^^;;).

 だんだん愚痴っぽくなってきたかな.それにしてもインターネット上の TeX は疲れる.

清き one crick please (^^;) メモ of『なっとくの微積・解析』に一票
posted by TaD at 16:49| Comment(2) | TrackBack(1) | 学問 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
こんばんは。
ご無沙汰しております。
相加相乗平均、好きでした〜。
何気ないところで、一筋の光でした。
難しいことはわかりません。
Posted by さちこ at 2008年08月28日 22:58
この証明は“これほど単純で・鮮やかな証明があろうか”というほど見事です.

さちこさんなら,
“ Oh,なんと美しい証明でしょう”
と言われること間違いなしです.
Posted by TaD at 2008年08月29日 00:04
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シンプルなこと
Excerpt: TaDさんの記事で知った「相加相乗平均の新証明法」。 >“ Oh,なんと美しい証明でしょう”と言われること間違いなしです. なんて言われたから、からっぽのない頭(また!)絞って読んでみました。(笑)..
Weblog: 理性と感情
Tracked: 2008-08-31 11:20
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